01 de abril de 2015
01.04.2015
Matemàtiques

Resolen l'enigma Fermi, Pasta, Ulam

Un equip d´investigadors troba la solució al problema plantejat pel Nobel de Física italià fa 60 anys al Laboratori de Los Alamos i amb el què va nàixer la matemàtica experimental

01.04.2015 | 10:21
Resolen l'enigma Fermi, Pasta, Ulam

El nou degà de la Facultat de Matemàtiques de la Universitat de València, el professor Juan Monterde García-Pozuelo, aborda en aquest article la recent resolució del Problema Fermi, Pasta, Ulam. L´anomenat enigma FPU va ser plantejat fa sis dècades al Laboratori de Los Alamos, on va nàixer la bomba atòmica.

L´ordinador que es feia servir en el projecte Manhattan en Los Alamos en la dècada dels 50, quedava lliure els caps de setmana. La temptació per als matemàtics i físics que hi treballaven era elevada. Així, el premi Nobel en física Enrico Fermi va proposar al matemàtic Stanislaw Ulam atacar algun problema fàcil de plantejar però que requerira un enorme volum de càlculs per arribar a la solució. Intractable a mà, però no per al MANIAC I (Mathematical Numerical Integrator And Computer). Van triar el problema d´estudiar el comportament d´una corda elàstica amb els dos extrems fixos i on a més de la tensió elàstica habitual proporcional a l´elongació, la força tenia també un altre terme, físicament correcte, però no lineal.

Van modelitzar el problema en un sistema discret de 64 o 128 partícules situades horitzontalment i unides per resorts. Les partícules dels extrems estan fixes, però les altres es poden moure a esquerra o dreta. El moviment d´una repercuteix en les del costat i així successivament. L´ordinador por calcular la posició de cada partícula a xicotets intervals de temps. Si només es tinguera en compte una força entre partícules contígües proporcional a la distància entre elles, aleshores el problema seria dels anomenats lineals, on els matemàtics estan contents perquè són capaços de predir el moviment. Aquest és similar a la vibració d´una corda de guitarra. Hi ha una vibració fonamental que correspon a la nota de la corda, però hi ha també el que es diuen harmònics, altres modes de vibració que corresponen a les octaves.

El terme no lineal introduït fa que el problema passe a ser inabordable amb llapis i paper. Allò que esperaven Fermi i Ulam era que si inicialment la corda es posava en la energia corresponent a la vibració fonamental, el terme no lineal fera que l´energia passara, en transcòrrer un cert temps, a una multitud d´altres modes de vibració. Ells pensaven que l´experiment numèric faria visible l´expressió que diu que l´entropia, el desordre, sempre augmenta, que el temps sempre va en una direcció i que el sistema evolucionava d´una forma no reversible.

Una dona olvidada
Amb l´ajuda d´un jove físic, John Pasta, i d´una jove matemàtica, Mary Tsingou, ja experts en la programació de l´ordinador, van obtenir uns primers resultats després d´unes quantes iteracions de l´algorisme que semblaven avalar la intuició. Un cap de setmana, però, no es van recordar de parar l´ordinador quan estava previst i aquest va calcular un quantes interacions més enllà. Quan van estudiar el resultat en aquest cas van observar que la corda, en contra de tota intuició, havia tornat a vibrar en l´estat fonamental inicial amb una energia de gairebé el 97 % de la inicial. La situació s´havia revertit!
Aquesta casualitat, i la perspicàcia de Fermi i Ulam, és considerada ara el naixement de la matemàtica experimental. A partir d´eixe moment els matemàtics ja tenim com fer els nostres experiments de manera anàloga als experiments que es fan en altres branques de la ciència.

Ara bé, igual que fan els altres científics, també s´ha de saber explicar el perquè dels resultats obtinguts, sobre tot si contradiuen la intuició. L´explicació del que havien obtingut Fermi, Pasta, Ulam i també Tsingou (per què no figura com autora del treball?), ha donat lloc a teories com la dels solitons (ones solitàries) o la teoria del caos.

Décades més tard de la publicació de treball, altres matemàtics, ja amb ordinadors més potents, van poder repetir l´experiment variant el nombre de partícules i el terme no lineal o augmentat també el nombre d´iteracions i van trobar que si bé la recurrència en tornar a l´estat inicial apareixia en determinats casos, en uns altres, amb major energia i amb moltes més iteracions, sí que els resultat eren els que havien previst Fermi i Ulam. La vibració fonamental no tornava. Per tant, la casualitat que ha donat tant de fruit no només va ser no aturar el MANIAC I quan tocava, sinó també plantejar el problema amb una determinada energia.

Ha estat ara quan un equip d´investigadors dirigits pel professor de l´Institut Politècnic Rensselaer, de l´estat de Nova York, Yuri Lvov, ha trobat una explicació elegant del comportament del sistema. D´acord amb el que han demostrat i corroborat amb experiments numèrics, la clau està en la transferència d´energia durant la coincidència d´exactament sis modes de vibració en el sistema. Després de moltes iteracions apareixen prou interaccions entre sis modes coincidents com per a fer que l´energia vaja transferint-se a un multitud de modes de vibracions diferents. Aquestes interaccions, i no altres, són irreversibles i s´arriba així al resultat que Fermi i Ulam esperaven.

Com en moltes altres ocasions la ciència ha avançat gràcies a casualitats. És ara, 60 anys més tard d´aquelles casualitats que tan fructíferes s´han demostrat, quan s´ha explicat en la seua totalitat el comportament del problema. Afortunadament per als matemàtics, hi ha molts altres problemes encara irresolts.

*Degà de la Facultat de Matemàtiques de la Universitat de València

Compartir en Twitter
Compartir en Facebook

Calendarios 2017/18

Calendario Laboral y Escolar Comunidad Valenciana

Consulta el calendario de 2017/18

Todos los días festivos nacionales, locales y de las ciudades de València, Castelló y Alicante de 2017 y 2018, así como el calendario escolar para el curso 2016/17.


Comunitat Valenciana


Uno de cada tres pescados que se consumen tiene anisakis

Uno de cada tres pescados que se consumen tiene anisakis

Las larvas del parásito pueden pasar al organismo si se consume pescado crudo o poco cocinado

Carolina Punset y Alexis Marí esperan su primer hijo

Carolina Punset y Alexis Marí esperan su primer hijo

La pareja contrajo matrimonio el pasado mes de febrero en el edificio del Veles e Vents en València

Una joven convierte en viral el acoso que sufrió en una playa de Torrevieja

Una joven convierte en viral el acoso que sufrió en una playa de Torrevieja

Alba L. Bueno relata su desamparo después de denunciar que estaba siendo grabada en la playa...

â??
Cuánto cuesta la vuelta al cole en la Comunitat Valenciana

Cuánto cuesta la vuelta al cole en la Comunitat Valenciana

La Unión de Consumidores elabora un informe con datos de colegios públicos, concertados y privados

Bonig negocia con las autonomías del PP a petición de Puig para cambiar la financiación

Bonig negocia con las autonomías del PP a petición de Puig para cambiar la financiación

La lideresa popular admite que la unidad del frente valenciano para exigir más dinero está rota

Enlaces recomendados: Premios Cine